Números Complexos
1. Definições
Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação
x² + 9 = 0 não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x² = -9
x = ±
mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número
i = raiz²(-1)
Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.
Para a equação acima fazemos
x = ±
x = ±
x = ± .
x = ± 3 i
As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Definição
Um número complexo é uma expressão da forma
a + bi
onde a e b são números reais e i² = -1.
No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.
Exemplos
2 + 5i : parte real 2, parte imaginária 5
1/3 -5/7i : parte real 1/3, parte imaginária
12i : parte real 0,parte imaginária 12
-9 : parte real -9, parte imaginária 0
Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.
Igualdade de números complexos
Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:
a + bi = c + di se
Exemplos
2 + 5i =
Se x e y são números reais e x + yi = 7- 4i, então x = 7 e y = - 4.
2. Aritmética dos números complexos
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias
Subtração
(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias
Exemplos
(3 + 4i) + (- 7+ 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i
(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i
= - 9 + 8i
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i² = - 1
Exemplos
(2+3i)(3-4i) = 6 – 8i + 9i – 12i² = 6 + i – 12 . (-1)
= 18 + i
(-4+2i)(2+i) = – 8 – 4i + 4i + 2i² = – 8 + 2 . (-1)
= – 8 – 2 = – 10
-3i(4-2i) = – 3i . (4) – 3i . (-2i) = - 12i + 6i² = - 12i + 6 . (-1)
= - 6 - 12i
3. O conjugado e a divisão
Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.
Complexos conjugados
O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.
Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.
Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.
Exemplos
O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i
O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i
O conjugado de z = 5i é = - 5i
O conjugado de z = 10 é = 10
Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:
z . = (a + bi) . (a – bi)
= a² – abi + abi – b²i²
= a² – b² . (-1)
A soma dos quadrados
de dois números reais
nunca é negativa
= a² + b²
Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.
Dividindo dois números complexos
Para escrevermos o quociente (a+bi)/(c+di) na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo
Vamos escrever o quociente na forma a + bi.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.
